A végestől a végtelenig — digitális szűrők az alapoktól
y[n] = Σ bₖ x[n−k] vs y[n] = Σ bₖ x[n−k] − Σ aₖ y[n−k]
A digitális szűrő egy diszkrét idejű LTI rendszer, amely a bemeneti jel bizonyos frekvencia-összetevőit átereszti, másokat elnyomja. Két alapvető családja a FIR (Finite Impulse Response — véges impulzusválasz) és az IIR (Infinite Impulse Response — végtelen impulzusválasz).
Minden digitális szűrő a differencia-egyenlet általános alakjából származik:
Ha az aₖ = 0 (nincs visszacsatolás), a szűrő FIR. Ha vannak aₖ ≠ 0 tagok, a szűrő IIR.
A FIR szűrő kimenete kizárólag a bemeneti minták súlyozott összege. Nincs visszacsatolás, ezért az impulzusválasz véges számú minta után zérusra csökken.
Figyeld meg: H(z) csak zérusokkal rendelkezik (a pólusok mind az origóban vannak), ezért a FIR szűrő mindig stabil.
A bemeneti minta sorba fűzött késleltetőkön (z−1) halad végig. Minden csomópontban a bₖ együtthatókkal szorozzuk, majd az összegző kimenetre adjuk.
Lineáris fázis: Ha a FIR együtthatók szimmetrikusak (bₖ = bM−k), a szűrő pontosan lineáris fázisú. Ez azt jelenti, hogy minden frekvenciakomponenst azonos idővel késleltet — nincs fázistorzítás. Ez kritikus például audioban, EKG-ben és kommunikációs rendszerekben.
Az IIR szűrő kimenete nemcsak a bemeneti mintáktól, hanem a korábbi kimeneti mintáktól (visszacsatolás) is függ. Emiatt az impulzusválasza elvileg végtelen hosszú (exponenciálisan lecseng).
A nevező a pólusokat definiálja. Ha bármely pólus az egységkörön kívül esik a z-síkon, a szűrő instabil!
A bemeneti ág (felül, bₖ) a FIR rész. A kimeneti ág (alul, −aₖ) a visszacsatolás — ez teszi végtelenné az impulzusválaszt.
Az impulzusválasz h[n] a rendszer válasza egy δ[n] bemenetre. A FIR impulzusválasza M+1 minta után nullára csökken, az IIR elvileg soha — de exponenciálisan lecseng (ha stabil).
A z-síkon a zérusok (○) a számláló gyökei, a pólusok (×) a nevező gyökei. A FIR szűrőnek csak zérusai vannak (a pólusok az origóban), ezért mindig stabil. Az IIR szűrőnek pólusai is vannak — ha bármelyik az egységkörön kívülre kerül, a szűrő instabil.
Kattints és húzd a × pólusokat! Figyeld a frekvenciaválasz változását. Az egységkörön belüli pólusok = stabil, kívüli = instabil.
A frekvenciaválasz H(ejω) az átviteli függvény az egységkörön. Az amplitúdóválasz |H| megmutatja, mennyire erősíti/gyengíti a szűrő az adott frekvenciát, a fázisválasz ∠H a fáziseltolást adja meg.
Figyeld: az IIR 2. rendű szűrő hasonló meredekséget ér el, mint a FIR 16. rendű! De a FIR fázisa lineáris, az IIR-é nem.
A gyakorlatban a szűrőtervezés specifikációból indul: milyen típusú (LP/HP/BP/BS), mekkora az áteresztő sáv, a záró sáv, a megengedett hullámzás (ripple) és a minimális csillapítás.
| Tulajdonság | FIR | IIR |
|---|---|---|
| Impulzusválasz | Véges (M+1 minta) | Végtelen (exponenciálisan lecseng) |
| Stabilitás | ✓ Mindig stabil | ⚠ Nem garantált — pólusok ellenőrzése szükséges |
| Lineáris fázis | ✓ Elérhető szimmetrikus együtthatókkal | ✗ Nem elérhető (allpass kompenzáció kell) |
| Szűrőrend | Magas (10–100+) azonos meredekséghez | Alacsony (2–8) elegendő |
| Számítási költség | Több szorzás/összeadás | Kevesebb művelet |
| Struktúra | Csak előre-irányú (feedforward) | Visszacsatolásos (feedback) |
| Véges szóhossz érzékenység | Kevésbé érzékeny | Érzékeny — határciklus, túlcsordulás |
| Analóg prototípus | Nem szükséges | Butterworth, Chebyshev, elliptikus |
| Tipikus alkalmazás | Audio, EKG, kommunikáció, adaptív szűrők | Valós idejű vezérlés, audio EQ, antialiasing |
Mikor melyiket? Ha lineáris fázis kell (audio, orvosi, kommunikáció) → FIR. Ha alacsony számítási költség vagy éles átmenet kell kevés renddel → IIR. Sok modern rendszer mindkettőt használja — IIR a valós idejű előszűrésre, FIR a precíz utófeldolgozásra.